再就職手当てや、就業手当ては、失業保険の待機期間が過ぎなければ絶対にいただけないものなのでしょうか？
仕事を必死に探して就職しようとしていても、待機期間3ヶ月？待たないといけないのでしょうか？

3ヶ月の給付制限がかかっている場合は、職安に離職票を提出後7日の待機以降、1ヶ月以内は職安の紹介した仕事についた場合に給付条件に当てはまれば給付されます。但し、所定日数の3分の1です。就業手当ては雇用条件が1年未満のアルバイトなどの仕事についた場合に受けられる手当てです。また、今回の退職で職安に求職の申し込みをすると、次の会社では雇用保険はゼロからのスタートなりますが、1ヶ月程度で就職が決まるようでしたら、職安に求職申し込みせずに次の会社ですぐに雇用保険がかかれば今までかけてきた雇用保険の期間が合算されます。そのあたりの情報はネット上でも沢山ありますから調べられてはいかがでしょうか。

失業保険の給付を受けなかった場合はどうなりますか？
6年勤めた会社を3/20に自己都合で退職し、4/2に失業保険の手続きをしましたが、ハローワークの紹介ではない会社へ内定が決まり、就職日はどうやら4/20になりそうです。この場合、7日間の待機期間と1ヶ月を経過しなければハローワークの紹介以外は再就職手当の支給もないまま、新しい会社へそのまままた雇用保険もかけていくことになると思うのですが、その場合は6年間の雇用保険は引き継がれるのでしょうか？例えば、これから入る会社を4年で辞めた場合は前の会社の6年との合算で10年と計算されるのでしょうか？

失業手当の給付も再就職手手も受けないまま、１年以内に再度雇用保険に加入するのであれば期間はつながります（逆に言えば給付を受けたら加入期間はそこで一旦リセットとなります）。
おっしゃるとおり６年にこれから期間がプラスαされていくということです。

退社が決まった後から雇用保険に加入してもらえば、失業保険はもらえますか？
昨年の12月にハローワークを通じて研修社員として入社しましたが、上司との折り合いが悪く4月20日付けでの解雇を言い渡されました。求人広告には、社会保険有り有給休暇有りとの掲示もありましたがそれもなく、また未だに雇用保険も加入してもらっていません。一度ハローワークに相談したら、いくら研修期間でも雇用保険だけは会社の当然の義務だから要求しなさいと言われましたが、勤務している間はあまり事を荒立てたくなくそのまま過ごしていました。前の会社でも後から雇用保険をまとめて支払った経験があるので、今からでも加入が出来るのなら要求したいのですが、角を立てたくはないので悩んでいます。後、もし支払らえるとしたら、どのくらいの金額をまとめて支払う事になるのか、どなたか詳しい方がいたら教えてください。

会社が加入する気があれば、保険料は貴方の月額賃金の0.7％を会社が負担、0.4％が貴方の負担になります。

ただ、雇用保険の受給をしようと思っていらっしゃるのであれば、今回の雇用保険だけでは雇用保険の受給は出来ませんよ。
離職理由が解雇等の会社都合であっても6ヶ月以上の被保険者期間が必要です。
過去2年以内に1年以上の雇用保険被保険者期間があり、一度も雇用保険の手当を受給していなければ今回の離職分に合算されるので受給は可能ですが、条件に該当しないなら今回雇用保険に加入する意味もないと思います。

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